Ci-dessous un exemple de comment écrire un premier p (qui est 1 modulo
4) comme une somme de deux carrés, en utilisant Mupad. Le logiciel
Mupad est pas disponible gratuitement (voir le site
http://www.mupad.de/), mais n'est pas libre dans le sens que la source
n'est pas disponible). Je ne crois pas que mupad soit installé sur les
machines de TP. 

Pour l'utilisation, Mupad ressemble à Maple, mais c'est déjà mieux car
les objets sont typés. Mupad est l'un des deux logiciels qu'on peut
utiliser pendant l'épreuve de modélisation de l'Agrégation. 

Les commentaires dans les lignes qui suivent commencent par ';', et
ont étés ajoutées après le calcul. Le `prompt' de Mupad est `>>'. 

   *----*    MuPAD 1.4.2 -- The Open Computer Algebra System
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 Type ?demo, ?topics, ?news or ?changes for further information.


>> p:=nextprime(10^30);

                      1000000000000000000000000000057




>> m:=(p-1)/4;

                      250000000000000000000000000014




>> m:=m/2;

                      125000000000000000000000000007




>> b:=powermod(2,m,p);

                835456628479332117420647150048
>> b^2 mod p;

               1000000000000000000000000000056

; On définit la matrice x dont les 4 colonnes forment un système de
; générateurs (en tant que Z-module) de l'idéal de Z[i] engendré par p
; et c-i (la Z-base de Z[i] étant (1,i)).

>> x:=[[p,0,b,1],[0,p,-1,b]];

[[1000000000000000000000000000057, 0,

   835456628479332117420647150048, 1], [0,

   1000000000000000000000000000057, -1,

   835456628479332117420647150048]]

; Maintenant l'étape la plus compliquée: on appelle la fonction lllint
; qui effectue l'algorithme LLL, avec l'option `All', ce qui donne
; comme résultat un vecteur de deux matrices, dont la deuxième est une
; Z-base LLL-réduite du Z-module engendré par les colonnes de x. Pour
; la notion de LLL-réduite le lecteur est référé au livre par Henri
; Cohen cité dans le polycopié du cours. L'idée est que les éléments
; de cette base sont assez orthogonaux, et donc `petits'.

>> y:=lllint(x,All);

[[[-340822742317508, 762776268894901], [0, 0],

   [407947858332109, -913005227193276], [0, 0]], [

   [913005227193276, 407947858332109],

   [-407947858332109, 913005227193276]]]



>> z:=y[2];

[[913005227193276, 407947858332109],

   [-407947858332109, 913005227193276]]




>> z[1][1]^2+z[2][1]^2;

               1000000000000000000000000000057



>>