Filière I : Algèbre et géométrie.

Premier trimestre.

Laurent Meersseman : Surfaces de Riemann.

Ce cours est une introduction à la théorie des surfaces de Riemann compactes.

• Rappels et compléments de fonctions holomorphes à une variable. Prolongement analytique. Construction de fonctions méromorphes à zéros et pôles prescrits.

• Définition d'une variété complexe, d'une surface de Riemann et premiers exemples.

• Compléments de géométrie et topologie différentielle. Surfaces différentiables. Métriques riemanniennes. Classification des surfaces différentiables. Somme connexe.

• Structures presque complexes. Condition d'intégrabilité. Construction d'une structure complexe sur une surface réelle compacte munie d'une métrique riemannienne.

• Revêtements topologiques. Revêtement universel. Revêtements holomorphes ramifiés. Applications holomorphes entre surfaces de Riemann. Théorème d'uniformisation de Riemann. Classification des surfaces de Riemann selon leur revêtement universel. Lien avec les métriques.

• Fonctions méromorphes sur les surfaces de Riemann. Faisceaux, diviseurs, fibrés en droites, première classe de Chern.

• Construction de fonctions méromorphes à zéros et pôles prescrits sur une surface de Riemann. Surfaces de Riemann comme domaine d'holomorphie de fonctions algébriques sur le projectif.

• Variétés projectives. Théorème de Chow. Plongements des surfaces de Riemann dans le projectif.

Prérequis : les cours ``Fonctions holomorphes d'une variable complexe'' de licence et ``Géométrie Différentielle'' de maîtrise.

Bibliographie:

B. Chabat, Introduction à l'analyse complexe, tome 1, Mir, Moscou, 1990.

H. Farkas, I. Kra, Riemann surfaces, 2nd edition, GTM 71, Springer, New York, 1992.

O. Forster, Lectures on Riemann Surfaces, Springer, GTM 81, New York, 1981.

R.C. Gunning, Lectures on Riemann Surfaces, 2nd edition, Princeton University Press, Princeton, 1968.

Frederic Touzet : Géométrie complexe.

• Fonctions de plusieurs variables complexes:

  • propriétés algébriques,

  • inversion locale,

  • théorèmes de prolongement.

• Généralités sur les variétés complexes.

• Cohomologie a valeurs dans un faisceau.

• Fibres vectoriels:

  • généralités,

  • classes de Chern,

  • diviseurs,

  • théorème de Chow.

• Métriques, connexions, courbures ; cas des variétés Kähleriennes.

Bibliographie :

P. Griffiths, J. Harris: Principles of Algebraic Geometry. Wiley, 1978.

Deuxième trimestre.

Gerd Dethloff : Equations aux dérivées partielles en géométrie algébrique.

• Compléments de géométrie algébrique: dimension de Kodaira, formule de Riemann-Roch-Hirzebruch, théorèmes d'annulation ...

• Courants, métriques (aussi singulières) et courbure.

• Opérateurs différentiels algébriques.

• EDP algébriques et courbes holomorphes dans des variétés algébriques.

Bibliographie :

P. Griffiths, J. Harris: Principles of Algebraic Geometry. Wiley, 1978.

R. Hartshorne: Algebraic Geometry. Springer, 1977.

J. Noguchi, T. Ochiai: Geometric Function Theory in Several Complex Variables. AMS, 1990.

J.P. Demailly: Variétés hyperboliques et équations différentielles algébriques. Gazette des Mathématiciens 73, 1997.

Michel Gros : Classification de représentations.

On dispose de nombreux exemples où l'on sait associer (dans le but de les classifier) à des représentations d'un groupe G d'autres objets : objets arithmétiques (représentations galoisiennes,...), objets géométriques (modules sur l'anneau des opérateurs différentiels d'une variété de drapeaux,...). Le cours sera consacré à la présentation de quelques aspects de ces techniques sur des exemples simples.

• Généralités sur les représentations : irréductibilité, produit tensoriel, caractère, exemples.

• Représentations de GL₂(k) avec k un corps fini, table des caractères,...

• Théorie du corps de classes local (calcul de l'abélianisé du groupe de Weil) et représentations de dimension 2 du groupe de Weil-Deligne.

• Correspondance. Généralisations : énoncé du programme de Langlands.

• Représentations de dimension finie de l'algèbre enveloppante de SL₂(C). Poids d'une représentation. Interprétation à l'aide de fibrés (théorème de Borel-Weil).

• Représentations de dimension infinie. Interprétation géométrique (théorème de Beilinson-Bernstein).

Prérequis : il est recommandé de suivre en même temps le cours sur les groupes de Lie.

Bibliographie:

J-P. Serre: Représentations linéaires des groupes finis. Hermann.

I. Piatetski-Shapiro: Complex representations of GL(2, K) for finite fields K. Contemp. Math., vol. 16.

Y. Benoist: D-modules sur la variété des drapeaux. Travaux en Cours n. 46, p. 99-116. Hermann.

Ilia Itenberg : Topologie des surfaces algébriques réelles.

• Courbes algébriques dans RP², surfaces algébriques dans RP³, et 16-ème problème de Hilbert.

• Restrictions topologiques sur les surfaces algébriques réelles.

• Constructions de surfaces algébriques réelles.

• Surfaces K3 réelles et surfaces d'Enriques réelles.

Louis Mahé : Géométrie algébrique réelle et formes quadratiques.

Le cours est une introduction à la géométrie (semi-) algébrique réelle et à l'étude des liens de cette théorie avec celle des formes quadratiques. Cette étude débouchera en particulier sur la réduction des systèmes d'inégalités polynomiales et sur la séparation des composantes connexes des variétés réelles par des formes quadratiques.

Les notions abordées seront les suivantes :

• Corps réels clos : comptage des racines, élimination des quantificateurs. Semi-algébriques : propriétés, démontage. Dimension. Inégalité de Lojiasiewicz.

• Algèbre réelle : Nullstellensatz réel. Spectre réel. Positivstellensatz.

• Formes quadratiques. Théorème de Tsen-Lang, formes sur un corps, formes de Pfister. Résultats quantitatifs sur le 17-ième problème de Hilbert : cas des corps et des anneaux géométriques.

• Réduction des systèmes d'inéquations polynomiales.

• Formes quadratiques et composantes connexes des variétés réelles.

Bibliographie :

J. Bochnak, M. Coste, M-F. Roy: Géométrie algébrique réelle, Ergebnisse der Math., Springer (1987) (et nouvelle édition anglaise).

Cours optionnel commun aux filières I, II et III.

Bas Edixhoven : Groupes de Lie (30 heures).

• Compléments de géométrie différentielle : variétés, fibrés tangents, revêtements, quotients.

• Sous-groupes fermés du groupe linéaire ; groupes classiques ; application exponentielle et algèbres de Lie.
• Décomposition de Cartan, d'Iwasawa, dans le cas des groupes classiques.
• Espaces homogènes ; exemples.
• Théorèmes de Lie ; théorème de Levi-Malcev.

• Représentation adjointe.
• Groupes compacts. Groupes semi-simples.

• Automorphismes et dérivations.

• Le théorème de Peter-Weyl et les représentations linéaires des groupes compacts.

• Exemples classiques.

Prérequis :

• Algèbre linéaire : linear algebra, Peter D. Lax. John Wiley Pub.

• Géométrie différentielle élémentaire : Lafontaine.

Bibliographie :

G. Hochschild, La structure des groupes de Lie, Dunod, 1968.

J. Humphreys, Introduction to Lie algebra and their representation theory, Springer Verlag.

A.W. Knapp, Lie groups beyond an introduction, Birkhäuser.

R. Mneimné, F. Testard, Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques, Hermann.