Filière II : Modélisation aléatoire et applications.

Premier trimestre.

Yves Derriennic, Dimitri Pétritis : Processus en temps discret et systèmes dynamiques.

Première partie commune avec la filière 4 (15 heures) :

• Martingales en temps discret.

• Chaînes de Markov.

• Processus stationnaires.

• Théorème ergodique et théorèmes de limite centrale.

Deuxième partie (15 heures) :

• Systèmes dynamiques.

• Transformations ergodiques; entropie.

• Chaînes de Markov.

Ying Hu : Processus en temps continu.

Première partie commune avec la filière 4 (15 heures) :

• Introduction au mouvement brownien et au processus de Poisson.

• Convergence en loi des processus à trajectoires continues.

• Théorème de Donsker.

• Intégrale d'Itô et formule d'Itô.

Deuxième partie (15 heures) :

• Calcul stochastique.

• Equations différentielles stochastiques.

Bibliographie :

I. Karatzas, S.E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer, New York, 1991.

D. Revuz, M. Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion. Springer, Berlin, 1994.

Deuxième trimestre.

Philippe Briand, Bernard Delyon: EDS, EDSR, applications a la finance et aux EDP (26 heures).

La première partie du cours s'adresse aussi aux étudiants du DEA de finance de l'IGR : on y donne les résultats de base sur les équations différentielles stochastiques (EDS), équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR), des exemples et applications. La deuxième partie est un cours d'approfondissement et d'applications aux équations aux dérivées partielles (EDP).

Première partie (12 heures dont 4 heures de TP) :

Equations différentielles stochastiques, Equations différentielles stochastiques rétrogrades.

• Résultats généraux.

• Exemples et applications à la finance (modèles de Vasicek, formule de Black et Scholes).

• Discrétisation et simulation des solutions des EDS.

Deuxième partie (14 heures) :

Approfondissement et applications aux EDP.

• Théorie générale des EDSR.

• EDSR dirigées par une EDS : propriété de Markov des solutions.

• Formule de Feynman-Kac pour les EDP semi-linéaires.

• Notion de viscosité d'une EDP non linéaire.

Prérequis: Mouvement brownien, formule d'Ito.

Bibliographie:

I.Karatzas et E. Shreve, Brownian motion and stochastic calculus, 2nd ed., Grad. Texts in Math. 113, Springer-Verlag, New York, 1991.

P.E. Koeden et E. Platen, Numerical solution of stochastic differential equations, Appl. Math. 23, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1992.

D. Lamberton et B. Lapeyre, Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance, seconde éd., Ellipses Edition Marketing, Paris, 1997.

Francois Coquet : Processus de Lévy et processus à accroissements indépendants.

• Généralités sur les processus à accroissements indépendants.

• Processus de Lévy ; formule de Lévy-Khintchine.

• Convergence de processus de Lévy.

Prérequis : le cours de tronc commun sur les processus stochastiques en temps continu.

Bibliographie:

Jean Bertoin : Processus de Lévy.

J. Jacod, A.N. Shiryaev : Limit theorems for stochastic processes, Springer, 1987

Bernard Petit : Méthodes ergodiques en théorie des nombres.

• Transformations dilatantes et développements en base non entière ; représentation par sous-décalage de type fini; nombres de Pisot.

• Théorème limite pour les sommes de Riesz-Raikov.

• Autres exemples de comportement asymptotique de sommes de type ergodique liées à l'arithmétique.

Dimitri Pétritis : Fondements mathématiques de la mécanique statistique.

• Introduction :

  • Validation des théories physiques.

  • Résumé du formalisme hamiltonien de la mécanique classique.

  • Phénoménologie et observables thermodynamiques.

• Mécanique statistique à l'équilibre.

  • Ensemble micro-canonique de Gibbs et hypothèse ergodique.

  • Ensemble canonique de Gibbs.

  • Ensemble grand-canonique de Gibbs.

  • Grandes déviations et équivalence des ensembles.

  • Limite thermodynamique.

  • Existence des transitions de phase.

  • Etude des modèles spécifiques sur réseau.

  • Mesures de Gibbs et équations de Dobrushin-Lanford-Ruelle.

• Quelques tentatives de formulation de la mécanique statistique hors d'équilibre.

  • Systèmes dynamiques et mesures de Sinai-Ruelle-Bowen.

  • Semi-groupes d'évolution markovienne et systèmes des particules.

  • Métastabilité et estimation du temps de relaxation.

Prérequis :

• Module de PRB-1 de maîtrise ou/et les 9 premiers chapitres du livre de D. Williams, Probability with martingales, Cambridge University Press (1991).
• Aucun prérequis de physique n'est exigé.

Bibliographie :

H.-O. Georgii, Gibbs measures and phase transitions, Walter de Gruyter, Berlin (1988).

A.I. Khinchin, Mathematical foundations of statistical mechanics, Dover, New York (1949).

O.-E. Lanford, Limit theorems in statistical mechanics, Cours du 3e cycle de physique de Suisse Romande (1978).

T. Liggett, Interacting particle systems, Springer-Verlag, Berlin (1985).

Albert Raugi : Théorèmes ergodiques multiplicatifs.

• Théorème ergodique sous additif.

• Théorèmes ergodiques multiplicatifs.

• Cas des matrices aléatoires indépendantes.

Prérequis : le cours du tronc commun sur les processus en temps discret et les systèmes dynamiques.

Cours optionnel commun aux filières I, II et III.

Bas Edixhoven : Groupes de Lie (30 heures).

Le programme de ce cours figure dans les options de la filière I.

Cours du DESS

Après accord avec le responsable du DEA, on pourra remplacer un ou deux cours optionnels de cette filière par des cours suivants de second trimestre de DESS (Diplôme d'Etudes Supérieures Spécialisées). Pour plus de renseignements sur le DESS, consulter:

http://www.maths.univ-rennes1.fr/dea.

Raymond Marie, Gérardo Rubino: Modèles markoviens (20h + 20h TD).

(Pour plus de détails, voir le programme du DESS.)

• Compléments sur les chaînes de Markov

• Notions sur les chaînes non homogènes.

• Traitement numérique des modèles markoviens.

• Evaluation de modèles markoviens par simulation.

• Files d'attente isolée.

• Réseaux de file d'attente à forme produit.

• Simulation à évènements discrets.

• Utilisation de logiciels spécialisés (QNAP 2, SHARP, ...).

Prérequis : bases en probabilités.

Bibliographie :

G. Fishman, Monte Carlo : concepts, algorithms, and applications, Springer-Verlag, New-York, 1995.

L. Kleinrock, Queueing Systems Volume I : Theory, John Wiley and Sons, New-York, 1975.

L. Kleinrock, Queueing Systems Volume II : Computer Applications, John Wiley and Sons, New-York, 1976.

Karlin and H.-M. Taylor, A Second Course in Stochastic Processes, Academic Press, 1981.

W. Stewart, Introduction to the Numerical Solution of Markov Chains, Princeton University Press Princeton, New-Jersey, 1994.

Bernard Delyon: Modélisation de systèmes et analyse par simulation.

(Pour plus de détails, voir le programme du DESS.)

• Outils de la simulation.

• Modélisation et simulation de problèmes à complexité polynomiale.

• Modélisation et simulation de problèmes à complexité non polynomiale.

• Modélisation et simulation à temps continu.

Prérequis : modules PRB et APM de la maîtrise ainsi que des notions sur les chaînes de Markov, par exemple premiers chapitres de :

R. Bhattacharya, E. Waymire, Stochastic processes with applications; John Wiley, New-York, 1990.

Bibliographie :

A. Sokal, Monte Carlo Simulations, 3ème cycle de Suisse Romande, Lausanne, 1988.

D. Petritis, Notions de modélisation et simulation stochastique, Rennes, 1997.

P. Kloeden, E. Platen, Numerical solution of stochastic differential equations, Springer Verlag, Berlin, 1992

Jean Deshayes : Statistique des séries chronologiques et des signaux (20h + 20h TD).

(Pour plus de détails, voir le programme du DESS.)

• Processus stationnaires du 2ème ordre.

• Modélisation autorégressive (AR).

• Choix de modèle.

• Introduction aux modèles non stationnaires.

• Modèles vectoriels.

• Travaux pratiques avec le logiciel SAS-ETS.

Prérequis :

• Obligatoires : cours de base de probabilités et de statistique.

• Recommandés : cours de probabilités avancé et analyse harmonique.

Bibliographie :

C. Gourieroux, A. Monfort, Cours de séries temporelles, Economica, 1990.

P.-J. Brockwell, R.-A. Davis, Times series : theory and methods, Springer-Verlag, 1991.

R. Azencott, D. Dacunha-Castelle, Séries d'observations irrégulières, Masson, 1984.