Filière III : Analyse et analyse numérique.

Premier trimestre.

Guy Métivier : Équations aux dérivées partielles.

L'objet du cours est de présenter des résultats de base de la théorie des équations aux dérivées partielles. Parmi les thèmes abordés :

• Équations du premier ordre. Solutions régulières, caractéristiques, théorie de Hamilton-Jacobi. Lois de conservation, solutions faibles, ondes de choc.

• Problème de Cauchy. Théorème de Cauchy-Kowalewsky, Théorème de Holmgren.

• Problème de Cauchy linéaire à coefficients constants. Notion d'hyperbolicité. Exemples de résolutions : équations des ondes, de Maxwell, de Schrödinger, de la chaleur. Problèmes mal posés.

• Estimations non linéaires. Résolution de quelques problèmes non linéaires : Euler, Maxwell, Navier-Stokes.

• Optique géométrique. Méthode BKW, analyse asymptotique. Notion de front d'onde.

• Introduction au calcul pseudo-différentiel et au calcul paradifférentiel.

Prérequis : modules ANAF, EDEP de la maîtrise.

Yves Achdou, Michel Crouzeix : Approximation numérique des équations aux dérivées partielles.

L'objet de ce cours est la présentation d'une méthode d'approximation numérique de base, la méthode des éléments finis, en prenant pour fil conducteur le problème de Stokes.

• Formulation variationnelle des problèmes elliptiques.

  • Problèmes variationnels abstraits, équations elliptiques du second ordre, système de Stokes, système de l'élasticité.

• Méthodes des éléments finis conformes pour les problèmes elliptiques d'ordre 2.

  • Éléments de type Lagrange, estimations d'erreur a priori et a posteriori, inégalités inverses, cas des frontières courbes. Problèmes non symétriques, stabilisation.

• Méthode des éléments finis mixtes.

  • Problèmes variationnels abstraits, condition inf-sup, points-selle, application au problème de Stokes. Discrétisation, divers éléments finis pour (Navier-)Stokes. Schémas numériques de résolution.

Prérequis : modules ANAF et EDEP de la maîtrise.

Bibliographie :

H. Brezis, Analyse fonctionnelle, théorie et applications, Masson 1983.

P-A. Raviart, J-M. Thomas, Introduction à l'analyse numérique des équations aux dérivées partielles, Masson 1985.

S-C. Brenner and L-R. Scott, The mathematical theory of finite element methods, Springer-Verlag, 1994.

V. Girault and P-A. Raviart, Finite element methods for Navier-Stokes equations, Springer-Verlag, 1994.

Deuxième trimestre.

Nicolas Lerner : Analyse harmonique et inégalités L^p.

Le but de ce cours est d'introduire les techniques d'analyse harmonique qui permettent d'obtenir des estimations L^p pour des opérateurs différentiels.

On commencera par introduire les outils standards sur les intégrales oscillantes et l'analyse harmonique classique (fonction maximale, inégalités de Hardy-Littlewood-Sobolev, théorèmes de Sobolev).

On examinera ensuite les théorèmes de restriction de Stein-Tomas et les inégalités de Carleman L^p de Jerison et Kenig, celles-ci permettant d'obtenir des résultats de continuation unique pour le laplacien. On montrera le rôle spécifique joué par les hypothèses de courbure dans ce type d'estimations. En particulier on verra divers exemples d'inégalités de Strichartz.

Prérequis : Analyse de Fourier.

Bibliographie :

L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators, Springer-Verlag, volume 1.

C. Sogge, Fourier integrals in classical analysis, Cambridge University Press.

E.M. Stein, Harmonic analysis, Princeton University Press.

Francis Nier : Théorie spectrale et applications.

L'objectif de ce cours est d'introduire diverses notions et techniques de la théorie spectrale des opérateurs auto-adjoints sur les espaces de Hilbert. Il sera illustré par des exemples simples ou classiques de la géométrie ou de la mécanique quantique : Laplacien sur des variétés, problème à deux corps de la mécanique quantique, oscillateur harmonique, perturbations de rang 1. Des compléments d'analyse fonctionnelle ainsi que des outils de base de l'analyse microlocale ou de la théorie des C*-algèbres seront introduits au fur et à mesure.

Le plan du cours est le suivant.

• Opérateurs auto-adjoints (non-bornés). Calcul fonctionnel. Théorie des perturbations.

• Analyse semiclassique : méthode BKW, mesures semiclassiques.

• Théorie de la diffusion : problème à deux corps.

• Résonances.

• Retour sur l'oscillateur harmonique. Introduction à la théorie des champs.

Prérequis : analyse fonctionnelle de la maîtrise, espaces de Hilbert, théorie des distributions, géométrie différentielle.

Bibliographie :

M. Reed, B. Simon. Methods of modern mathematical physics. 2ème édition. 4 tomes. Academic Press, 1980.

M.S. Birman, M.Z. Solomjak. Spectral theory of selfadjoint operators in Hilbert space. D. Reidel Publishing Co., 1987.

A. Sergio, F. Gesztesy,R. Hoegh-Krohn, H. Holden. Solvable models in quantum mechanics. Texts and Monographs in Physics. Springer-Verlag, 1988.

F.A. Berezin, M.A. Shubin. The Schrödinger equation. Mathematics and its Applications (Soviet Series), 66. Kluwer Academic Publishers Group, 1991.

B. Helffer, Semi-classical analysis for the Schrödinger operator and applications. Lecture Notes in Mathematics, 1336. Springer-Verlag, 1988.

P.D. Hislop, I.M. Sigal. Introduction to spectral theory. With applications to Schrödinger operators. Applied Mathematical Sciences, 113. Springer-Verlag, 1996.

J. Derezinski, C. Gérard. Scattering theory of classical and quantum N-particle systems. Texts and Monographs in Physics. Springer-Verlag, 1997.

D.R. Yafaev Mathematical scattering theory. General theory. Translations of Mathematical Monographs, 105. American Mathematical Society, 1992.

H.L. Cycon, R.G. Froese, W. Kirsch, B. Simon Schrödinger operators with application to quantum mechanics and global geometry. Texts and Monographs in Physics. Springer Study Edition. Springer-Verlag, 1987.

W. Amrein, A. Boutet de Monvel, V. Georgescu. C₀-groups, commutator methods and spectral theory of N-body Hamiltonians. Progress in Mathematics, 135. Birkhäuser Verlag, 1996.

L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators. 2ème édition. 4 tomes. Springer Study Edition. Springer-Verlag, 1990-1994.

0. Bratteli, D. Robinson. Operator algebras and quantum-statistical mechanics. 2 tomes. Texts and Monographs in Physics. Springer-Verlag, 1981

Marc Quincampoix : Contrôle et contrôlabilité des équations différentielles ordinaires.

• Solutions de Carathéodory; propriétés de compacité des solutions.

• Controlabilité des systèmes linéaires, critère de Kalman.

• Atteignabilité et controlabilité d'ensembles pour les systèmes non linéaires.

• Fonctions valeurs continues; Equations d'Hamilton Jacobi Bellman.

• -Introduction aux jeux différentiels.

Jean-Pierre Yvon : Contrôle des équations aux dérivées partielles.

• Introduction à l'optimisation dans des espaces de dimension infinie.

• Contrôle des systèmes elliptiques.
  • Théorie générale et exemples dans le cas linéaire,
  • Etude d'un exemple d'un système non-linéaire

• Contrôle des systèmes paraboliques
  • Résultats d'existence, d'unicité et de régularité
  • Cadre général des problèmes de contrôle optimal
  • Découplage, équation de Riccati,
  • Comportement asymptotique
  • Résultats de contrôlabilité approchée

• Contrôle des systèmes hyperboliques
  • Résultats d'existence, d'unicité et de régularité
  • Cadre général des problèmes de contrôle optimal
  • Etude spécifique de l'équation des ondes :
  • Formulations faibles, existence et régularité,
  • Résultats de contrôlabilité exacte

• Extensions diverses
  • Problème d'estimation de paramètres : identifiabilité,
  • Introduction à la conception optimale de formes.

Cours commun avec le DEA de Mécanique (en construction).

Roger Lewandowski : Fluides géophysiques et climatologie.

• Généralités sur les fluides géophysiques : loi d'échelles, nombres de Rossby et quotient d'aspect; approximation hydrostatique pour des petits quotients d'aspect.

• Equations primitives pour l'océan : approximation de Boussinesq et équation d'état; viscosités verticales turbulentes et équations de fermeture; modélisation de l'interface turbulente air-mer, hypothèse du toit rigide; bilan thermique à la surface de l'océan (calcul des flux), bilan des conditions aux limites; formulation des équations et stabilisation numérique du système.

• Equations primitives pour l'atmosphère : loi d'état et système de p-coordonnées; formulation du système couplé océan-atmosphère et existence d'une solution obtenue par approximation : stabilisation du système.

• Couches limites océaniques et atmosphériques : les différentes modèles de circulation : équilibre géostrophique et équations quasi-géostrophiques ; couches d'Ekman ; circulations de Sverdrup, Munk et thermohaline; dynamique des courants du bord Ouest.

• Ondes dans les fluides : ondes de gravité internes et externes ; ondes d'inertie et ondes de Rossby (planétaires).

• Dynamique côtière : ondes de Poincaré, de Kelvin et du plateau continental; circulation induite par le vent; notion sur les marées côtières.

Cours optionnel commun aux filières I, II et III.

Bas Edixhoven : Groupes de Lie (30 heures).

Le programme de ce cours figure dans les options de la filière I.