Le cours de Paul Baird (Université de Brest): Théorie géométrique de mesure

Une motivation pour le développement de la théorie géométrique de mesure est le problème de Plateau:

Donné une (n-1)-sous-variété orientée M dans ${\bf R}^m$, trouver une sous-variété orientée N de dimension n minimisant l'aire telle que $\partial N=M$.

Exemples: (i) Soit M le graphe d'une fonction $C^{\infty}$, $g:S^1\rightarrow {\bf R}$ ; soit N le graphe d'une fonction $u:D^2\rightarrow {\bf R}$ qui est solution du problème de Dirichlet:

$${\rm div}\left\{ \frac{\nabla u}{(1+\vert\nabla u\vert^2)^{1/2}}\right\} = 0$$

sur D² et u = g sur $S^1 = \partial D^2$.

(ii) Soit

$$M = \{ (w,z)\in {\bf C}^2: w^2 = z^3, \vert w\vert^2 + \vert z\vert^2 = 1\}$$

$$N = \{ (w,z)\in {\bf C}^2: w^2 = z^3, \vert w\vert^2 + \vert z\vert^2 \leq 1\}.$$

L'ensemble N de l'exemple (ii) est singulier en (0,0). Donc la solution n'est pas toujours une sous-variété. Pourtant, en considérant la limite d'une suite minimisante des sous-variétés, Federer et Fleming ont introduit la notion de ``rectifiable current'', qu'on discutera dans la 2ème partie du cours.

En général, la théorie géométrique de mesure est la théorie des sous-variétés singulières dans ${\bf R}^m$. Elle applique des notions de la théorie de mesures aux problèmes de la géométrie différentielle. L'objectif est d'obtenir des résultats d'existence et de régularité.

Resumé

1.

PARTIE ANALYTIQUE

(a)

Notion élémentaire de mesure: mesure de Borel, fonction mesurable, mesure de Hausdorff.

(b)

Applications de Lipschitz: fonction différentiable, Théorème de Radamacher, aire et co-aire des applications de Lipschitz.

2.

PARTIE GEOMETRIQUE

(a)

Formes et courants : ensemble dénombrablement réctifiable, l'espace tangent approximatif, courants dans ${\bf R}^m$, masse, théorèmes de déformation, de rectafiabilité et de compacité.

(b)

Minimisation de masse : existence et régularité des courants qui minimisent masse, cones minimisants et le problème de Bernstein.

Bibliographie

1.

H. Federer and W. Fleming, Normal and integral currents, Annals of Math. 72 (1960), 458-520.

2.

2. H. Federer, Geometric measure theory, Springer-Verlag, 1969.

3.

3. E. Bombieri, E. De Giorgi and E. Giusti, Minimal cones and the Bernstein problem, Invent. Math. 7 (1969), 243-268.

4.

4. R. Hardt, An introduction to geometric measure theory, Lecture Notes, Melbourne University (1979).

Prérequis

Aucun sauf une connaissance des notions élémentaires des sous-variétés dans ${\bf R}^m$.

Dates et lieu

Les lundi 29 mai et 5 juin 2000 de 13h45 à 14h45 et de 15h à 16h, et les mardis 30 mai et 6 juin 2000, de 8h45 à 10h15 et de 10h45 à 12h15, + 5 autres heures precisées ultérieurement. Lieu : salle 006 du batiment 22.