Le cours de Jean Bellissard (Université de Toulouse III): Solides apériodiques: mathématique de leur description, problèmes spectraux, transport électronique.

Resumé

Le contenu réel du cours dependra à la fois du temps imparti et de l'auditoire. Ce seront des ``morceaux choisis'' parmi les points suivants:

• Inroduction: matériaux apériodiques, exemples, problèmes.
• Structure atomique: pavages (Voronoi, Delaunay), enveloppe, mesure de Gibbs, diffraction, énergie potentielle, phonons, structure électronique.
• Zone de Brillouin non commutative: théorie de Bloch dans les cristaux, analogue non commutatif dans les solides apériodiques, densité d'états, structure différentielle.
• Spectres de Cantor: Modèles résolubles. Matrice de Jacobi associée à un ensemble de Julia. Cas des potentiels de substitution.
• Analyse spectrale:
  • Exemple 1: électrons en champ magnétique uniforme. Analyse semi-classique, propriétés spectrales.
  • Exemple 2: quasicristaux unidimensionels. Spectre Cantorien, groupe de renormalisation spatial. Spectres singuliers continus.
  • Exemple 3: localisation d'Anderson dans les milieux désordonnés. Résultats (sans développement), introduction à la localisation faible. Matrices aléatoires.
• Exposants: exposants spectraux, exposants de DOS, exposants de diffusion. Exemples: modèles en dimension $D=\infty$, matrices de Jacobi associées à un ensemble de Julia, modèles en $D\geq 3$. Conjectures.
• Théorie cinétique de la conductivité électronique. Approche probabiliste classique. Approche par processus stochastiques non commutatifs. Formule de Kubo: phonon drag, autres contre-termes. Approximation de temps de relaxation: formule de Drude anormale, application aux quasi-cristaux.

Bibliographie

J. Bellissard est auteur ou co-auteur des articles suivants.

1.

``Gap Labelling Theorems for Schrödinger's Operators'' paru dans ``From Number Theory to Physics''pp.538-630, Les Houches March 89, Springer, J.M. Luck, P. Moussa & M. Waldschmidt Eds., (1993).

2.

``Non Commutative Methods in Semiclassical Analysis'' cours donné au CIME (1991). Publié dans ``Transition to Chaos in Classical and Quantum Mechanics'', Lecture Notes in Mathematics, n$^{\circ}$ 1589, Springer, (1994).

3.

``Spectral Properties of One-Dimensional Quasicrystals'' avec B. Iochum, E. Scoppola & D. Testard, Comm. Math. Phys., 125,(1989), 527-543.

4.

``Anomalous transport: a mathematical framework'' avec H. Schulz-Baldes, Rev. Math. Phys., 10, 1-46 (1998).

5.

``A Kinetic Theory for Quantum Transport in Aperiodic Media'' avec H. Schulz-Baldes, J. Stat. Phys., 91, (1998), 991-1026.

6.

``Hull of Aperiodic Solids and Gap Labelling Theorems'', with M. Zarrouati & D. Hermann, preprint 1999, to appear in Directions in Mathematical Quasicrystals, M.B. Baake & R.V. Moody Eds.

Prérequis

Il est bien entendu conseillé d'avoir déjà quelques connaissances en analyse fonctionnelle et théorie spectrale. Ceux qui souhaitent approfondir peuvent travailler la théorie des C*-algèbres, des systèmes dynamiques, des probabilités.

Dates et lieu

• Mercredi 19/01/2000, 10h-12h, 14h-16h, salle 006 du bâtiment 22.
• Jeudi 20/01/2000, 9h-11h, salle 006 du bâtiment 22.
• Mercredi 26/01/2000, 10-12h, salle 006 du bâtiment 22, 14h-16h, salle 016 du bâtiment 22.
• Jeudi 27/01/2000, 9h-11h, salle 006 du bâtiment 22.